许多金融文献专门讨论资本资产定价模型 (CAPM)。在著名的 CAPM 中，证券的风险和收益率之间的关系描述如下：
R
i
=
R
f
+
β
i
(
E
[
R
m
k
t
]
−
R
f
)
R_{i}=R_{f}+\beta_{i}\left(E\left[R_{m k t}\right]-R_{f}\right)
Ri=Rf+βi(E[Rmkt]−Rf)
对于证券
i
i
i，它的回报被定义为
R
i
R_{i}
Ri，它的 beta 被定义为
β
i
\beta_{i}
βi。 CAPM 将证券的回报定义为无风险利率
R
f
R_{f}
Rf 及其 beta 与风险溢价的乘积之和。 风险溢价可以被认为是市场投资组合不包括无风险利率的超额收益。 以下是 CAPM 的直观表示：
Beta 是衡量股票系统性风险的指标——一种无法分散的风险。 从本质上讲，它描述了股票收益对市场变动的敏感性。 例如，无论市场走向如何，贝塔系数为零的股票都不会产生超额回报。它只能以无风险的速度增长。 Beta 值为 1 的股票表示该股票与市场完美契合。
Beta 是通过将股票和市场之间的回报协方差除以市场回报的方差而在数学上推导出来的。
CAPM 模型衡量投资组合篮子中每只股票的风险与股票收益之间的关系。 通过概述这种关系的总和，我们获得了对每个投资组合回报水平产生最低投资组合风险的风险证券的组合或权重。 希望获得特定回报的投资者将拥有一个这样的最佳投资组合组合，以提供尽可能小的风险。 最优投资组合的组合位于一条称为有效前沿的线。
沿着有效边界，存在一个切点，表示可用的最佳最优投资组合，并以尽可能低的风险换取最高的回报率。 这种切点处的最优投资组合被称为市场投资组合。
从市场投资组合到无风险利率存在一条直线。 这条线称为资本市场线（CML）。 CML 可以被认为是最佳投资组合的所有其他夏普比率中可用的最高夏普比率。 夏普比率是一种风险调整后的绩效衡量标准，定义为投资组合的超额回报超过其每单位风险的无风险利率的标准差。 投资者对持有沿 CML 线的资产组合特别感兴趣。 下图说明了有效边界、市场组合和 CML：
CAPM 研究的另一条兴趣线是证券市场线 (SML)。 SML 将资产的预期回报与其 beta 作图。 对于 beta 值为 1 的证券，其收益与市场收益完全匹配。 任何定价高于 SML 的证券都被视为被低估，因为在相同的风险下，投资者期望获得更高的回报。 相反，任何定价低于 SML 的证券都被视为被高估，如下所示：
假设我们有兴趣找到证券的 beta
β
i
\beta_{i}
βi。 我们可以将公司的股票收益
R
i
R_{i}
Ri 与市场收益
R
M
R_M
RM 以及截距
α
\alpha
α 以
R
i
=
α
+
β
R
M
R_{i}=\alpha+\beta R_{M}
Ri=α+βRM 方程的形式进行回归。
考虑以下五个时间段测量的股票回报和市场回报数据：
使用 SciPy 的 stats 模块，我们将对 CAPM 模型进行最小二乘回归，并通过在 Python 中运行以下代码来导出
α
\alpha
α 和
β
i
\beta_{i}
βi 的值：
"""
Linear regression with SciPy
"""
from scipy import stats
stock_returns = [0.065, 0.0265, -0.0593, -0.001, 0.0346]
mkt_returns = [0.055, -0.09, -0.041, 0.045, 0.022]
beta, alpha, r_value, p_value, std_err = \
stats.linregress(stock_returns, mkt_returns)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
scipty.stats.linregress 函数返回五个值：回归线的斜率、回归线的截距、相关系数、零斜率零假设的假设检验的 p 值和标准误差 的估计。 我们有兴趣通过分别打印 beta 和 alpha 的值来找到直线的斜率和截距：
print(beta, alpha)
0.5077431878770808 -0.008481900352462384
- 1
- 2
- 3
该股票的贝塔系数为 0.5077，阿尔法系数几乎为零。
描述 SML 的方程可以写成如下：
E
[
R
i
]
=
R
f
+
β
i
(
E
[
R
M
]
−
R
f
)
E\left[R_{i}\right]=R_{f}+\beta_{i}\left(E\left[R_{M}\right]-R_{f}\right)
E[Ri]=Rf+βi(E[RM]−Rf)
E
[
R
M
]
−
R
f
E\left[R_{M}\right]-R_{f}
E[RM]−Rf 是市场风险溢价，
E
[
R
M
]
E[R_M]
E[RM] 是市场投资组合的预期回报。
R
f
R_f
Rf 是无风险利率的回报，
E
[
R
j
]
E\left[R_{j}\right]
E[Rj] 是资产
i
i
i 的预期回报，
β
i
\beta_{i}
βi 是资产的 beta。
假设无风险利率为 5%，市场风险溢价为 8.5%。 股票的预期收益是多少？ 根据 CAPM，贝塔值为 0.5077 的股票的风险溢价为 0.5077×8.5%，即 4.3%。 无风险利率为 5%，因此权益的预期收益为 9.3%。
如果在同一时期观察到该证券的收益高于预期的股票收益（例如 10.5%），则该证券可以说被低估了，因为投资者可以期望相同数量的股票获得更大的收益风险。
相反，如果观察到证券的回报比 SML 暗示的预期回报低（例如 7%），则可以说该证券被高估了。 投资者在承担相同风险的同时获得的回报减少。
详情参阅 – 亚图跨际