简介

凸优化，或叫做凸最优化，凸最小化，是数学最优化的一个子领域，研究定义于凸集中的凸函数最小化的问题。

在金融学和经济学中，凸优化起着重要作用，这方面的例子包括市场数据校准和期权定价模型，或者效用函数的优化。

我们对下列函数fm进行这种优化


#coding:UTF-8
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
import scipy.optimize as spo
 
def fm(*args):
    return (np.sin(args[0])+0.05*args[0]**2+np.sin(args[1])+0.05*args[1]**2)
 
x = np.linspace(-10,10,50)
y = np.linspace(-10,10,50)
x,y = np.meshgrid(x,y)
z = fm(x,y)
 
fig = plt.figure(figsize=(9,6))
ax = fig.gca(projection='3d')
surf = ax.plot_surface(x,y,z,rstride=2,cstride=2,cmap=mpl.cm.coolwarm,linewidth=0.5,antialiased=True)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('f(x,y)')
fig.colorbar(surf,shrink=0.5,aspect=5)
plt.show()

全局最优化


def fo(*args):
    x = args[0][0]
    y = args[0][1]
    z = np.sin(x) + 0.05*x**2 + np.sin(y) + 0.05*y**2
    #print(x,y,z)
    return z
opt = spo.brute(fo,((-10,10,0.1),(-10,10,0.1)),finish=None)
print(opt)
print(fm(opt[0],opt[1]))


 
[-1.4 -1.4]
-1.7748994599769203
 
Process finished with exit code 0

最优化参数现在是x=y=-1.4，全局最小化的最小函数大约-1.7749

局部优化


opt2 = spo.fmin(fo,(2.0,2.0),maxiter=250)
print(opt2)
print(fm(opt2[0],opt2[1]))


Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.015826
         Iterations: 46
         Function evaluations: 86
[4.2710728  4.27106945]
0.0158257532746805
 
Process finished with exit code 0

有约束优化问题

现实中的问题往往是有约束条件的，在条件允许内，制定最优的解决方案，从而获得最好的结果。

例如如下情景：你可以选择投资两种证券，如何分配才能取得最大化收益呢？

已知假设如下，两种证券现价格为 $Q_{a}$ = $Q_{b}$ = 10,收益受到u，d两种状态影响，一年后，u状态下的收益分别为15和5，而d下则为5和12，假设两种状态出现的概率相同，用 $P_{u}$ = $P_{d}$ = 0.5表示，而他们的收益则用 $R_{a}$ , $R_{b}$ 表示

你的预算为 $W_{0}$ = 100，

未知假设：未来财富率的效用函数如下如下 $U_{w}$ = $\sqrt{w}$ ，a,b是投资者购买的证券数量,则如下公式成立

$\underset{a,b}{max}-E(U(_{w1})) = p\sqrt{_{w1a}}+(1-p)\sqrt{_{w1b}}$
$W_{1} =W_{1a}+W_{1b}= aR_{a} + bR_{b}$ 总收益公式
$W_{0} \geq aQ_{a} + bQ_{b}$ 总投资收到预算的约束
$a,b\geq 0$ 每种证券的投资数量收到非负数约束

现在我们将数值带入，反向求解

$\underset{a,b}{min}-E(U(_{w1})) =-\left ( 0.5*\sqrt{_{w1a}}+0.5*\sqrt{_{w1b}}\right )$ 函数1
$W_{1a} = a*15+b*5$
$W_{1b} = a*5 + b*12$
$100\geq a*10+b*10$ 条件1
$a,b\geq 0$ 条件2

代码实现


import scipy.optimize as spo
from math import sqrt
def Eu(*args): #函数一
    a = args[0][0]
    b = args[0][1]
    return -(0.5*sqrt(a*15+b*5)+0.5*sqrt(a*5+b*12))
 
cons = ({'type':'ineq','fun':lambda a: 100-a[0]*10-a[1]*10 }) #条件一
bnds = ((0,1000),(0,1000))  #条件二
result = spo.minimize(Eu,[5,5],method='SLSQP',bounds=bnds,constraints=cons)
print(result)


     fun: -9.700883611487832
     jac: array([-0.48508096, -0.48489535])
 message: 'Optimization terminated successfully.'
    nfev: 21
     nit: 5
    njev: 5
  status: 0
 success: True
       x: array([8.02547122, 1.97452878])
 
Process finished with exit code 0

结果如上，你要购买8个a证券和2个b证券。